Question

14．设抛物线的顶点在原点，焦点是圆x²+y²=6x的圆心；
（1）求此抛物线的标准方程；
（2）过抛物线焦点且斜率为2的直线与抛物线和圆分别交于A，B，C，D四点，求△OAB与△OCD的面积之和．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心坐标，可得抛物线的焦点坐标，即可求此抛物线的标准方程；
（2）过抛物线焦点且斜率为2的直线方程为y=2x-6，分别于抛物线、圆联立，求得交点的纵坐标，即可求△OAB与△OCD的面积之和．

解答 解：（1）圆x²+y²=6x的圆心为（3，0），
∴抛物线的焦点是（3，0），
∴抛物线的标准方程为y²=12x；
（2）过抛物线焦点且斜率为2的直线方程为y=2x-6，
与y²=12x联立，可得y²-6y-36=0，∴y=3±3$\sqrt{5}$，
与x²+y²=6x联立，可得y²-6y-36=0，∴y=±$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴△OAB与△OCD的面积之和为$\frac{1}{2}×3×6\sqrt{5}+\frac{1}{2}×3×\frac{12}{5}\sqrt{5}$=$\frac{63}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．