Question

【题目】(2017·金华调研)如图，AB＝BE＝BC＝2AD＝2，且AB⊥BE，∠DAB＝60°，AD∥BC，BE⊥AD.

(1)求证：平面ADE⊥平面BDE；

(2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）

【解析】试题分析:(1)先根据平几知识得AD⊥DB ，又BE⊥AD，得AD⊥平面BDE ，根据面面垂直判定定理得结论，(2)先根据等体积法V A-DCE=V E-ADC可得点A到平面DCE的距离，根据线面角定义得直线AD与平面DCE所成角的正弦值.

试题解析:(1)证明　∵AB＝2AD，∠DAB＝60°，∴AD⊥DB，

又BE⊥AD，且BD∩BE＝B，∴AD⊥平面BDE，

又AD平面ADE，∴平面ADE⊥平面BDE.

(2)解　∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，

∴点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2，

设AD与平面DCE所成角为θ，点A到平面DCE的距离为d，

由V三棱锥A－DCE＝V三棱锥E－ADC得×d×S△CDE＝×|BE|×S△ACD，解得d＝，

而AD＝1，则sin θ＝＝，

故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为.