Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁是菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E，F分别是AB₁，BC的中点．
（1）求证：直线EF∥平面A₁ACC₁；
（2）在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁C，A₁E．由已知条件得EF∥A₁C．由此能证明直线EF∥平面A₁ACC₁．
（2）连接EG，FG．由已知得△A₁AB是等边三角形．由E是A₁B的中点，

BG

GA

=

1

3

，得EG⊥AB．由此能证明当

BG

GA

=

1

3

时，平面EFG⊥平面ABC，

解答： （1）证明：连接A₁C，A₁E．
∵侧面A₁ABB₁是菱形，E是AB₁的中点，
∴E也是A₁B的中点，
又F是BC的中点，∴EF∥A₁C．
∵A₁C?平面A₁ACC₁，EF?平面A₁ACC₁，
∴直线EF∥平面A₁ACC₁．
（2）解：当

BG

GA

=

1

3

时，平面EFG⊥平面ABC，
证明如下：连接EG，FG．
∵侧面A₁ABB₁是菱形，且∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB是等边三角形．
∵E是A₁B的中点，

BG

GA

=

1

3

，∴EG⊥AB．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，且平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，
∴EG⊥平面ABC．
又EG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查使平面垂直的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．