Question

如图为f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，?＞0，?∈（-π，0））的图象的一段，
（Ⅰ）求其解析式．
（Ⅱ）将f（x）图象上所有的点纵坐标不变，横坐标放大到原来的2倍，然后再将新的图象向左平移

π

2

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标可得A，由函数的周期求得ω，再由函数的图象过定点并结合?的范围，求得?的值．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再由x∈[0，

π

2

]利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由函数的图象可得A=

3

，

1

2

2π

ω

=

5π

6

-

π

3

，解得ω=2．
故f（x）=

3

sin（2x+?），再由函数的图象过点（

π

3

，0），可得

3

sin（

2π

3

+? ），?∈（-π，0）），
∴?=-

2π

3

，∴f（x）=

3

sin（2x-

2π

3

）．
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有的点纵坐标不变，横坐标放大到原来的2倍，得到y=

3

sin(x-

2

3

π)，
再将新的图象向左平移

π

2

个单位得到y=

3

sin(x-

π

6

)，所以g(x)=

3

sin(x-

π

6

)．
因为x∈[0，

π

2

]，所以x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，所以，sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，

3

2

]，
所以函数y=g（x）的值域为[-

3

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．