Question

【题目】已知函数的定义域为；

（1）求实数的取值范围；

（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由定义域为R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得实数m的取值范围（2）根据（1）实数t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．

(1)函数的定义域为R，

那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0对任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，

根据绝对值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3

∴3﹣m≥0，所以m≤3，

故实数m的取值范围（﹣∞，3]；

（2）由（1）可知m的最大值为3，即t＝3，

那么a2+b2+c2＝t2＝9，

则a2+1+b2+1+c2+1＝12，

由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，

∴（），当a＝b＝c时取等号，

故得的最小值为．