Question

【题目】判断下列命题的真假.

（1）过一条直线的平面有无数多个；

（2）如果两个平面有两个公共点，那么它们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在直线上；

（3）两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段；

（4）两个相交平面可能存在不在一条直线上的3个公共点.

Answer 1

【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题.

【解析】

（1）根据基本事实1“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”的推论可得命题是真命题；

（2）根据基本事实3“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可得命题是真命题；

（3）根据基本事实3“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可得命题是假命题；

（4）根据基本事实3“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可得命题是假命题．

解：（1）由基本事实1“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”的推论可知，两条平行直线或者两条相交直线可以确定一个平面，结合一扇门旋转时所在的不同平面都经过轴可知，命题“过一条直线的平面有无数多个”是真命题；

（2）根据基本事实3“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可得命题“如果两个平面有两个公共点，那么它们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在直线上”是真命题；

（3）根据基本事实3“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可得两个平面的公共点组成的集合是一条直线，从而命题“两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段”是假命题；

（4）根据基本事实3“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可得两个平面若相交，它们的公共点必在一条直线上，从而命题“两个相交平面可能存在不在一条直线上的3个公共点”是假命题．