Question

已知函数f（x）=3xin（2x+

π

6

）+2．
（1）求函数的单调区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

2

]时，求函数的最值及对应x的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用整体思想求出函数的单调区间．
（2）根据函数的定义域求函数的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）+2
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)
函数的增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z
同理令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

求得函数的减区间为：[

π

3

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z
（2）已知x∈[-

π

6

，

π

2

]
-

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

则：-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
所以：

1

2

≤3sin(2x+

π

6

)+2≤5
当x=

π

6

时，函数区最大值为5，当x=-

π

6

时，函数取最小值为

1

2

，
即函数f（x）最大值为5，最小值为

1

2

．

点评：本题考查的知识要点：正弦型函数的单调区间的确定，利用函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．