Question

（Ⅰ）在三角形ABC中，求a=2，c=

3

，cos

B

2

=

2 5

5

角形ABC的面积S；
（Ⅱ）设函数f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1，x∈[-

π

3

，

5π

6

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知化简可求得：cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

＞0，即有0＜B＜

π

2

，可求得：sinB=

1-cos2B

=

4

5

，即可求得S=

1

2

acsinB的值．
（Ⅱ）由f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1，可得f（x）=sin（x+

π

3

），根据x取值范围，即可确定f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由已知化简可求得：cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

＞0，
所以0＜B＜

π

2

，
可求得：sinB=

1-cos2B

=

4

5

，
故有，S=

1

2

acsinB=

1

2

×2×

3

×

4

5

=

4 3

5

．
（Ⅱ）∵f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1，

f(x)=sin( π 3 +x)，x∈[- π 3 ， 5 6 π]，x+ π 3 ∈[0， 7π 6 ] sin( π 3 +x)∈[- 1 2 ，1]，所以函数f(x)的值域是[- 1 2 ，1]

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数值域的解法，属于基本知识的考查．