Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的中心为O，左焦点为F，P是双曲线上的一点

OP

•

PF

=0且4

OP

•

OF

=

OF

2，则该双曲线的离心率是（　　）

• A、

  10 - 2

  2

• B、

  10 + 2

  2

• C、

  7

  -

  3

• D、

  7

  +

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：通过向量的垂直，向量的数量积得到∠FOP=60°，设双曲线另一个焦点为F'，则在△POF'中，利用余弦定理以及双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵

OP

•

PF

=0，∴

OP

⊥

PF

，∴4

OP

•

OF

=4|

OP

|•|

OF

|•

| OP |

| OF |

=4|

OP

|2=c2，
∴|

OP

|=

1

2

c，∠FOP=60°，
设双曲线另一个焦点为F'，则在△POF'中，
由余弦定理可得|PF′|=

7

2

c，又|PF|=

3

2

c，
由双曲线定义得

7

2

c-

3

2

c=2a，
所以离心率e=

7

+

3

，
故选D

点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，基本知识的考查．