Question

如图，设AB、A′B′分别是圆O：x²+y²=a²和椭圆的弦，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号．
（Ⅰ）若椭圆C的短轴长为2，离心率为，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦AB过定点，试探究弦A′B′是否也必过某个定点．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆C的短轴长为2，离心率为，求出几何量，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）解法一：利用点A在圆O上，点A′在椭圆C上，确定A′，B′的纵坐标，利用弦AB过定点，确定直线A′B′的方程，从而可得弦A′B′必过定点；
解法二：根据圆O上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆C，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，由弦AB过定点，猜想弦A′B′过定点，进一步可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，b=1，，…（2分）
解得：a²=4，所以椭圆C的方程为：．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：x²+y²=4．…（5分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、A′（x₁，m）、B′（x₂，n），
∵点A在圆O上，∴，…①
∵点A′在椭圆C上，∴，…②
联立方程①②解得：，同理解得：．
∴、．…（8分）
∵弦AB过定点，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即，
化简得…（10分）
直线A′B′的方程为：，即，
由得直线A′B′的方程为：，
∴弦A′B′必过定点．…（12分）
解法二：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：x²+y²=4．…（5分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵圆O上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆C，
又端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，
∴、．…（8分）
由弦AB过定点，猜想弦A′B′过定点．…（9分）
∵弦AB过定点，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即…①…（10分）
，，
由①得=，
∴弦A′B′必过定点．…（12分）
点评：本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．