Question

在下列4个结论中：
①x³＜-8的必要不充分条件是x²＞4；
②在△ABC中，AB²+AC²=BC²是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a²+b²≠0”是“a，b不全为0”的充要条件；
④“9＜k＜15”是“方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示椭圆”的必要不充分条件．
正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：

分析：通过对各个命题之间的相互推导来判断他们彼此谁是充分条件和必要条件

解答： 解：①x³＜-8可得x＜-2；x²＞4可得x＜-2或者x＞2
由此可知，当x³＜-8成立时，x²＞4也成立；当x²＞4时，x³＜-8不一定成立
∴x²＞4是x³＜-8得充分不必要条件，故①错
②在△ABC中，若：AB²+AC²=BC²，则△ABC为直角三角形，当△ABC为直角三角形时，可能BC不是斜边，那么就不一定有：AB²+AC²=BC²
∴在△ABC中，AB²+AC²=BC²可以推导出△ABC为直角三角形，但当△ABC为直角三角形时，就不能推导出AB²+AC²=BC²
∴在△ABC中，AB²+AC²=BC²是△ABC为直角三角形的必要条件，而不是充分条件，故②错
③若a，b∈R，当a²+b²≠0时，则有a，b不全为0，当a，b不全为0时，则有a²+b²≠0
∴a²+b²≠0可以推导出a，b不全为0；a，b不全为0可以推导出a²+b²≠0
∴a²+b²≠0是a，b不全为0的充分条件和必要条件，故③正确
④当9＜K＜12和12＜K＜15时，15-K＞0，K-9＞0，且15-K≠K-12，此时，

x2

15-K

+

y2

K-9

=1表示椭圆，但是当K=12时，有15-K=K-9，那么

x2

15-K

+

y2

K-9

=1就表示一个圆．
∴当9＜K＜15时，不能推导出

x2

15-K

+

y2

K-9

=1表示椭圆，但是当

x2

15-K

+

y2

K-9

=1表示椭圆时，可以推导出9＜K＜15
故9＜K＜12是

x2

15-K

+

y2

K-9

=1表示椭圆必要不充分条件．
∴答案为③④

点评：理解什么是充分条件，什么是必要条件．一般规律是必要条件包含充分条件，也就是必要条件的范围要广，而充分条件的范围要小．另外通过它们的相互推导的规律，进一步判定两个命题之间的关系．