Question

给出定义：若x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]（其中m为整数），则m叫做与实数x“亲密的整数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）-lnx有两个零点．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：①x∈（0，1）时，m=

1

2

，可得f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，从而可得函数的单调性；
②利用新定义，可得{k-x}=k-m，从而可得f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x）；
③验证{x+1}={x}+1=m+1，可得f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）；
④由上，在同一坐标系中画出函数图象，即可得到当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）-lnx有两个零点．

解答： 解：①x∈（0，1）时，m=

1

2

，
∴f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，函数在（-∞，

1

2

）上是减函数，在（

1

2

，+∞）上是增函数，故①不正确；
②∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴k-m-

1

2

＜k-x≤k-m+

1

2

（m∈Z），
∴{k-x}=k-m，
∴f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈z）对称，故②正确；
③∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴-

1

2

＜（x+1）-（m+1）≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，
∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
∴函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④由题意，当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）-lnx有两个零点．
∴正确命题的序号是：②③④．
故答案为：②③④

点评：本题为新定义题目，考查了函数奇偶性，周期性，单调性，对称性的判断，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属于中档题．