Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+1
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（θ）=

5

6

，θ∈（

π

3

，

7π

12

），求sin2θ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角与两角和的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的周期．
（Ⅱ）若f（θ）=

5

6

，求出sin（2θ-

π

6

），结合θ的范围，求出cos（2θ-

π

6

），通过sin2θ=sin[（2θ-

π

6

）+

π

6

]利用两角差的正弦函数求解即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+1
=

3

2

sin2x-

cos2x+1

2

+1
=sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
∴函数f（x）的最小正周期：

2π

2

=π；
（2）∵f（θ）=

5

6

，∴sin（2θ-

π

6

）+

1

2

=

5

6

，sin（2θ-

π

6

）=

1

3

．    …（8分）
∵θ∈（

π

3

，

7π

12

），∴2θ-

π

6

∈（

π

2

，π），
cos（2θ-

π

6

）=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

． …（11分）
∴sin2θ=sin（2θ-

π

6

+

π

6

）=

3

2

sin（2θ-

π

6

）+

1

2

cos（2θ-

π

6

）=

3

2

×

1

3

+

1

2

×(-

2 2

3

)=

3 -2 2

6

．  …（14分）

点评：本题考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的单调性函数值的求法，考查计算能力，转化思想．