Question

已知f（x）=sin2x-2sin²x
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x取值的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据是正弦函数的性质求得函数的最大值，及此时x的集合．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数的单调增区间．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x-1+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

时，即x=kπ+

π

8

时，k∈Z，函数有最大值

2

-1．
∴函数的最大值为

2

-1，此时x的集合为{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．
（2）当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

时，k∈Z，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对数形结合思想的运用．