Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，S_n=

2an

a1

-1，n∈N^*
（1）求a₁，a₂，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）分别取n=1，2，3，4，利用递推思想能求出数列的前4项，总结规律猜想an=2n-1．再用数学归纳法证明．
（2）na_n=n•2^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{na_n}前n项和．

解答： 解：（1）∵S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁≠0，S_n=

2an

a1

-1，n∈N^*，
∴a₁=S₁=

2a1

a1

-1=1，
S₂=1+a₂=

2a2

1

-1，解得a₂=2，
S3=3+a3=

2a3

1

-1，解得a₃=4，
S₄=7+a₄=

2a4

1

-1，解得a₄=8．
由此猜想an=2n-1．
下面用数学归纳法证明：
①n=1时，a1=21-1=1，成立．
②假设n=k时成立，即ak=2k-1，
则n=k+1时，S_k+1=2⁰+2+2²+…+2^k-1+a_k+1=

2ak+1

1

-1，
∴

1-2k

1-2

+a_k+1=2a_k+1-1，
∴a_k+1=2^k，也成立，
∴数列{a_n}的通项公式an=2n-1．
（2）na_n=n•2^n-1，设数列{na_n}前n项和为T_n．
则Tn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，①
2Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，②
①-②，得：-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=

1-2n

1-2

-n•2n，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∴数列{na_n}前n项和为（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．