Question

(本小题13分)己知函数。
（1）试探究函数的零点个数；
（2）若的图象与轴交于两点，中点为，设函数的导函数为, 求证：。

Answer 1

（1）时，有2个零点；时，有1个零点；时没有零点；（2）证明详见解析.

试题分析：（1）先求导，求出极值点，然后分类求出函数的零点个数.（2）首先用函数的零根表示出a，，即，=，然后代入中，整理得，设，则，，通过导数求的值域大于0即可得证.
试题解析：（1），则x=是极大值点，函数 极大值，（0， ）是单调增区间，（ ，+）是单调减区间；(1)当，即时，有2个零点；(2)当，即时，有1个零点；(3)当，即时没有零点；
（2）由得
  
=，令，设，
则，又，，
即，又，。