Question

3．已知f（x）=4^x-2^x+1-a（a∈R）
（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；
（2）若f（x）有零点，且t=$\frac{a-3}{a+3}$，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，求出函数的零点即可；
（2）求出a+3的范围，从而求出t的范围．

解答 解：（1）a=3时，f（x）=4^x-2^x+1-3，
令4^x-2^x+1-3=0，得：（2^x-3）（2^x+1）=0，
∵2^x+1≠0，∴2^x-3=0，
故函数f（x）的零点是log₂3；
（2）若f（x）有零点，
则a=（2^x-1）²-1，
∵2^x＞0，
∴a=（2^x-1）²-1∈[-1，+∞），
∴a+3∈[2，+∞），
∴$\frac{6}{a+3}$∈（0，3]，
∴t=$\frac{a-3}{a+3}$=1-$\frac{6}{a+3}$，
∴-2≤t=1-$\frac{6}{a+3}$＜1，
故t的范围是[-2，1）．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查二次函数以及指数函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．