Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）给出下列4个命题：
①当b=0，c=0时，f（x）=0只有一个实数根；   
②当c=0时，y=f（x）是偶函数；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④当b≠0，c≠0时，方程f（x）=0有两个实数根．
上述命题中，所有正确命题的个数是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，依次分析四个命题：①当b=0，c=0时，f（x）=x|x|=0只有一个实数根0；   ②当c=0时，y=f（x）=x|x|+bx是奇函数；③设g（x）=x|x|+bx，因为g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，又函数y=f（x）的图象可以由g（x）=x|x|+bx的图象上下平移c个单位得到．故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④当c=0，b＜0时，f（x）=x|x|+bx=，方程f（x）=0可以有三个实数根．
解答：解：由f（x）=x|x|+bx+c（x∈R），知：
①当b=0，c=0时，f（x）=x|x|=0只有一个实数根0，故①正确；   
②当c=0时，y=f（x）=x|x|+bx是奇函数，故②正确；
③设g（x）=x|x|+bx，因为g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，又函数y=f（x）的图象可以由g（x）=x|x|+bx的图象上下平移c个单位得到．故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；
④当c=0，b＜0时，如图②，f（x）=x|x|+bx=，方程f（x）=0可以有三个实数根．
故④不成立．

故答案为：3个．
点评：本题考查真假命题的判断、函数的奇偶性，方程根的个数判断，体现了数形结合的数学思想．