【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|.
(Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集为[0,4],求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵|x﹣a|≤2,∴a﹣2≤x≤a+2, ∵f(x)≤2的解集为[0,4],∴ ,∴a=2.
(Ⅱ)∵f(x)+f(x+5)=|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,
∵x0∈R,使得 ,
即 成立,
∴4m+m2>[f(x)+f(x+5)]min , 即4m+m2>5,解得m<﹣5,或m>1,
∴实数m的取值范围是(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞)
【解析】(Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集为[0,4],可得 ,即可求实数a的值;(Ⅱ)根据第一步所化出的分段函数求出函数f(x)的最小值,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m成立,只需4m+m2>fmin(x),解出实数m的取值范围.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn . 若对n∈N* , 总k∈N* , 使得Sn=ak , 则称数列{an}是“G数列”. (Ⅰ)若数列{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d=﹣1.证明:数列{an}是“G数列”;
(Ⅱ)若数列{an}的前n项和Sn=3n(n∈N*),判断数列{an}是否为“G数列”,并说明理由;
(Ⅲ)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“G数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.
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【题目】已知点F为抛物线E:x2=4y的焦点,直线l为准线,C为抛物线上的一点(C在第一象限),以点C为圆心,|CF|为半径的圆与y轴交于D,F两点,且△CDF为正三角形.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)设P为l上任意一点,过P作抛物线x2=4y的切线,切点为A,B,判断直线AB与圆C的位置关系.
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【题目】已知f(x)=ex+acosx(e为自然对数的底数).
(1)若f(x)在x=0处的切线过点P(1,6),求实数a的值;
(2)当x∈[0, ]时,f(x)≥ax恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数有如下性质:如果常数
,那么该函数在
上是减函数,在
上是增函数.
若
,函数在
上的最小值为4,求a的值;
对于
中的函数在区间A上的值域是
,求区间长度最大的
注:区间长度
区间的右端点
区间的左断点
;
若
中函数的定义域是
解不等式
.
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【题目】已知△ABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c, (1﹣cos2B)=8sinBsinC,A+
=π.
(Ⅰ)求cosB的值;
(Ⅱ)若点D在线段BC上,且BD=6,c=5,求△ADC的面积.
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