Question

【题目】已知点F为抛物线E：x2=4y的焦点，直线l为准线，C为抛物线上的一点（C在第一象限），以点C为圆心，|CF|为半径的圆与y轴交于D，F两点，且△CDF为正三角形．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设P为l上任意一点，过P作抛物线x2=4y的切线，切点为A，B，判断直线AB与圆C的位置关系．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知F（0，1），设圆C的半径为r， 因为△CDF为正三角形，C（ r，|r﹣1|），
因为点C在抛物线x2=4y上，
得 r2=4r﹣4 即3r2﹣16r+16=0，
解得r=4或r=
所以圆C的方程为C1：（x﹣2 ）2+（y﹣3）2=16，
或C2：（x﹣ ）2+（y﹣ ）2=
（II）（方法一）
因为准线l为y=﹣1，设P（t，﹣1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
因为y= ，所以y′= ，
A（x1 ， y1）为切点的切线方程为：y﹣y1= （x﹣x1），y1= ，即y= x﹣y1 ，
因为切线过P（t，﹣1），得﹣1= t﹣y1 ， ①
同理可得﹣1= t﹣y2 ， ②
所以直线AB方程为﹣1= xt﹣y，即tx﹣2y+2=0，
圆心C1（2 ，3），r1=4，C1到直线距离d1=
可得d12﹣16= ≤0
所以t=﹣2 时，d1=4，直线AB与圆C1相切．
t≠﹣2 时，d1＜4直线AB与圆C1相交．
所以直线AB与圆C2相交或相切．
同理可证，直线AB与圆C2相交或相切．
所以直线AB与圆C1 ， C2相交或相切．
（注：因为直线AB过定点f（0，1），且斜率 ∈R
因为F（0，1）在圆C1 ， C2相上，所以直线AB与圆C1 ， C2相交或相切．这样答扣1分）
（方法二）设设P（t，﹣1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线E的方程得x2﹣4kx﹣4b=0 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
因为y= ，所以y′= ，
A（x1 ， y1）为切点的切线方程为：y﹣y1= （x﹣x1），y1= ，即y= x﹣ ，①
B（x2 ， y2）为切点的切线方程为y= x﹣ ②
联立①②得
所以 所以 ，
所以直线AB方程为y= xt+1，
以下与（方法一）相同
【解析】（Ⅰ）求出点C的坐标，再代入到抛物线的解析式中求出半径，问题得以解决；（Ⅱ）设P（t，﹣1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根据导数和几何意义，求出A，B为切点的切线方程，即可得到直线AB的方程，再利用点到直线的距离，和半径的关系判断直线和圆的位置关系．