Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|= ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆C于E，F两点，若存在点G（﹣1，y0）使△EFG为等边三角形，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e= = ，①由椭圆的通径丨AB丨= = ，② 由a2=b2+c2 ， ③
解得：a=2 ，b= ，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）设直线l：x=ty+1，E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），
易知：t=0时，不满足，故t≠0，
则 ，整理得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，
显然△=4t2+28（t2+4）＞0，
∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
于是x1+x2=t（y1+y2）+2= ，
故EF的中点D（ ，﹣ ），
由△EFG为等边三角形，则丨GE丨=丨GF丨，
连接GD，则kGDkEF=﹣1，
即 =﹣1，整理得y0=t+ ，
则G（﹣1，t+ ），
由△EFG为等比三角形，则丨GD丨= 丨EF丨，丨GD丨2= 丨EF丨2 ，
∴（ +1）2+（t+ ）2= （1+t2）[（﹣ ）2﹣4×（﹣ ）]，
整理得：（ +1）2= ，
即（ ）2= ，解得：t2=10，则t=± ，
∴直线l的方程x=± y+1，即y=± （x﹣1）．
直线l的方程y=± （x﹣1）．

【解析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆的通径公式，及a2=b2+c2及可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标，根据等边三角形的性质，求得G点坐标，由丨GD丨= 丨EF丨，即可取得t的值，即可求得直线l的方程．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．