【题目】如图,四边形为正方形,
平面
.
(1)求证:;
(2)若点在线段
上,且满足
,求证:
平面
;
(3)求证:平面
.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
要证
,转化为证明直线
平面
,再转化为
平面
即可
过
作
,垂足为
,连接
,则
,又可得
,所以四边形
为平行四边形,则
,最后根据线面平面的判定定理即可得证
由
可知
,再利用平面几何知识得出
,最后利用直线与平面垂直的判定定理即可得证
(1)因为EF∥AB,所以EF与AB确定平面EABF,
因为EA⊥平面ABCD,所以EA⊥BC.
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A,
所以BC⊥平面EABF.
又AF平面EABF,
所以BC⊥AF.
(2)过M作MN⊥BC,垂足为N,连接FN,则MN∥AB.
又CM=AC,
所以MN=AB.
又EF∥AB且EF=AB,
所以EF∥MN且EF=MN,
所以四边形EFNM为平行四边形,
所以EM∥FN.
又FN平面FBC,EM平面FBC,
所以EM∥平面FBC.
(3)由(1)可知,AF⊥BC.
在四边形ABFE中,AB=4,AE=2,EF=1,
∠BAE=∠AEF=90°,
所以tan∠EBA=tan∠FAE=,
则∠EBA=∠FAE.
设AF∩BE=P,
因为∠PAE+∠PAB=90°,
故∠PBA+∠PAB=90°,
则∠APB=90°,即EB⊥AF.
又因为EB∩BC=B,所以AF⊥平面EBC.
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【题目】设函数f(x)满足2x2f(x)+x3f′(x)=ex , f(2)= ,则x∈[2,+∞)时,f(x)( )
A.有最大值
B.有最小值
C.有最大值
D.有最小值
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【题目】设数列{an}满足a1=,
.(1)证明:数列
为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设cn=(3n+1)an,证明:数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列.
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【题目】已知点F为抛物线E:x2=4y的焦点,直线l为准线,C为抛物线上的一点(C在第一象限),以点C为圆心,|CF|为半径的圆与y轴交于D,F两点,且△CDF为正三角形.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)设P为l上任意一点,过P作抛物线x2=4y的切线,切点为A,B,判断直线AB与圆C的位置关系.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ﹣
)=
m
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数有如下性质:如果常数
,那么该函数在
上是减函数,在
上是增函数.
若
,函数在
上的最小值为4,求a的值;
对于
中的函数在区间A上的值域是
,求区间长度最大的
注:区间长度
区间的右端点
区间的左断点
;
若
中函数的定义域是
解不等式
.
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【题目】已知两点,直线
相交于点
,且这两条直线的斜率之积为
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)记点的轨迹为曲线
,曲线
上在第一象限的点
的横坐标为
,过点
且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线
于
,求直线
的斜率(其中点
为坐标原点).
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