Question

【题目】设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f′（x）=ex ， f（2）= ，则x∈[2，+∞）时，f（x）（ ）
A.有最大值
B.有最小值
C.有最大值
D.有最小值

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex ， 当x＞0时，
故此等式可化为：f'（x）= ，且当x=2时，f（2）= ，
f'（2）= =0，
令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，
求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣ = （x﹣2），
当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，
则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，
g（z）的最小值为g（2）=0，
则f'（x）≥0恒成立，
∴f（x）的最小值f（2）= ，
故选：B．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．