Question

16、如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AB₁与A₁B相交于M，由三角形中位线定理，我们易得B₁C∥MD，结合线面平行的判定定理，易得B₁C∥平面A₁BD；
（2）由于已知的几何体ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，结合AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，根据正方形的几何特征，我们易得到AB₁⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，根据线面垂直的判定定理，即可得到B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）由图可知，当点E为CC₁的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC₁，结合AC₁⊥平面AB₁D，我们易得到DE⊥平面AB₁D，进而根据面面垂直的判定定理得到结论．

解答：解：（1）证明：连接AB₁与A₁B相交于M，

则M为A₁B的中点，连接MD，
又D为AC的中点，
∴B₁C∥MD，
又B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．（4分）
（2）∵AB=BB₁，
∴四边形ABB₁A₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
又∵AC₁面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥面AB₁C₁，
∴AB₁⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．（8分）
（3）当点E为CC₁的中点时，
平面A₁BD⊥平面BDE，
∵D、E分别为AC、CC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面AB₁D，
∴DE⊥平面AB₁D，又DE?平面BDE，
∴平面AB₁D⊥平面BDE．（14分）

点评：本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理、性质定理、定义是解答此类问题的根本．