Question

已知两定点F₁(，0)，F₂(，0)，满足条件|＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点．

(1)求k的取值范围；

(2)如果|AB|＝，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(，0)、F2(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1． 　　故曲线E的方程为x2－y2＝1(x＜0)． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0． 　　又已知直线与双曲线左支交于A、B两点有解得＜k＜－1 　　(2)因为|AB|＝|x1－x2| 　　＝ 　　＝ 　　＝． 　　依题意得＝6． 　　整理后得28k4－55k2＋25＝0． 　　∴k2＝或k2＝． 　　但＜k＜－1，∴k＝． 　　故直线AB的方程为x＋y＋1＝0． 　　设C(xC，yC)，由已知，得(x1，y2)＋(x2，y2)＝(mxc，myc)， 　　∴(xc，yc)＝． 　　又x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝， 　　∴点C()． 　　将点C的坐标代入曲线E的方程，得＝1． 　　得m＝±4．但当m＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意． 　　∴m＝4，C点坐标为(，2)． 　　C到AB的距离为． 　　∴△ABC的面积S＝．