Question

【题目】已知直线.

(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围;

(2)若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；

(3)已知点,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）[0,+∞)；（2）S的最小值为4，此时的直线方程为x2y+4=0；（3）d的最大值为5，此时直线方程为3x+4y+2=0。

【解析】

（1）把已知方程变形，利用线性方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于0且在y轴上的截距大于等于0联立不等式组求解；

（2）由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；

（3）当PM⊥l时，d取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直线l的斜率，由点斜式方程可得所求直线l的方程．

(1)由kxy+1+2k=0,得k(x+2)+(y+1)=0，

联立,解得，

则直线l:kxy+1+2k=0过定点M(2,1)；

由kxy+1+2k=0，得y=kx+1+2k，

要使直线不经过第四象限,则，解得k0。

∴k的取值范围是[0,+∞)。

(2)如图，

由题意可知，k>0，

在kxy+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，

∴

。

当且仅当，即时等号成立。

∴S的最小值为4，此时的直线方程为12xy+2=0，即x2y+4=0。

(3)点P(1,5)，若点P到直线l的距离为d，

当PM⊥l时,d取得最大值,且为，

由直线PM的斜率为，

可得直线直线l的斜率为，

则直线l的方程为，

即为3x+4y+2=0。