Question

4．已知直角△ABC的顶点坐标A（-3，0），直角顶点B（-1，-2$\sqrt{2}$），顶点C在x轴上．
（Ⅰ）求边BC所在的直线的方程；
（Ⅱ）求直角△ABC的斜边中线所在的直线的方程及斜边中线的长度．

Answer 1

分析 （I）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．
（II）点C在x轴上，又x-$\sqrt{2}$y-3=0．可得C（3，0）．利用中点坐标公式可得斜边AC的中点．可得直角△ABC的斜边中线OB的方程及其|OB|．

解答 解：（Ⅰ）依题意，直角△ABC的直角顶点为B（-1，-2$\sqrt{2}$），
∴AB⊥BC，故k_AB•k_BC=-1，∴k_BC=$\frac{-1}{\frac{-2\sqrt{2}-0}{-1-（-3）}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴BC边所在的直线的方程为y+2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1），
即x-$\sqrt{2}$y-3=0．
（Ⅱ）∵点C在x轴上，又x-$\sqrt{2}$y-3=0．
由y=0，得x=3，即C（3，0）．
∴斜边AC的中点为（0，0），
故直角△ABC的斜边中线为OB（O为坐标原点），
设直线OB：y=kx，把B代入，得k=2$\sqrt{2}$．
∴直角△ABC的斜边中线OB的方程为y=2$\sqrt{2}$x．
斜边中线的长度|OB|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-2\sqrt{2}）^{2}}$=3．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．