Question

13．在Rt△ABC中，已知点A（3，1）和直角∠B的平分线方程y=2x．
（1）求点A关于直线y=2x的对称点M的坐标；
（2）求点B的坐标；
（3）若点B在第一象限，且△ABC面积等于10，求直线AC的方程．

Answer 1

分析 （1）设出M的坐标，根据中点坐标公式以及两垂直直线的斜率的关系得到方程组，解出即可；
（2）设出B的坐标，根据直线y=2x和直线AB的夹角是45°，结合两角和的正切公式求出B的坐标即可；
（3）设出C的坐标，根据|BC|的长是2$\sqrt{10}$，以及直线K_AB•K_BC=-1，从而求出C点的坐标即可．

解答 解：（1）设M（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a-3}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{a+3}{2}•2=\frac{b+1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{11}{3}$，b=-$\frac{7}{3}$，
即M（-$\frac{11}{3}$，-$\frac{7}{3}$）；
（2）由题意得B点在直线y=2x上，
设B（m，2m），
∴直线AB的斜率是：K_AB=$\frac{2m-1}{m-3}$，
∴tan（arctan2+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2m-1}{m-3}$或tan（arctan2-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2m-1}{m-3}$，
解得：B（2，4）或（0，0），
（3）由（2）得：B（2，4），
设BC的距离是h，则$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•h=10，解得：h=2$\sqrt{10}$，
设C（x，y），则$\frac{4-y}{2-x}•\frac{4-1}{3-2}$=-1，得：x-3y+10=0①，
又|BC|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+（y-4）}^{2}}$=2$\sqrt{10}$②，
由①②得：C（6，8）或（2，-4），
故过A（3，1），C（6，8）的直线为：
7x-3y-18=0，
过A（3，1），C（2，-4）的直线为：
5x-y-14=0．

点评 本题考查了两点间的距离公式，考查直线斜率的求法以及求直线方程问题，是一道中档题．