Question

18．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，
（1）求a，p的值；
（Ⅱ）设P为直线x=-1上除（-1，-$\sqrt{3}$），（-1，$\sqrt{3}$）两点外的任意一点，过P作圆C₂：（x-2）²+y²=3的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的定义即可得到$1+\frac{p}{2}=3$，求出p=4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到$\sqrt{1+{a}^{2}}=3$，从而可求出a的值；
（Ⅱ）可设过点P的直线l方程为：y-y₀=k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky²-8y+8y₀+8k=0，可设直线AB，CD的斜率分别为k₁，k₂，A，B，C，D四点的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，从而可以得到${y}_{1}{y}_{2}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{1}）}{{k}_{1}}，{y}_{3}{y}_{4}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{2}）}{{k}_{2}}$．可以求圆心C₂到切线l的距离，从而可以得到关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k₁+k₂=-y₀，这样即可求得y₁y₂y₃y₄=64，即得出A，B，C，D四点纵坐标之积为定值．

解答 解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，Q（1，a）到准线x=$-\frac{p}{2}$的距离为3；
∴$1+\frac{p}{2}=3$；
∴p=4；
∴抛物线的焦点坐标为（2，0）；
∴$\sqrt{1+{a}^{2}}=3$；
∴$a=±2\sqrt{2}$；
（Ⅱ）设P（-1，y₀），过点P的直线方程设为l：y-y₀=k（x+1）；
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y-{y}_{0}=k（x+1）}\end{array}\right.$得，ky²-8y+8y₀+8k=0；
若直线AB，CD的斜率分别为k₁，k₂，设A，B，C，D的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄；
∴${y}_{1}{y}_{2}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{1}）}{{k}_{1}}，{y}_{3}{y}_{4}=\frac{8（{y}_{0}+{k}_{2}）}{{k}_{2}}$；
∵C₂到l的距离d=$\frac{|3k+{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{3}$；
∴$6{k}^{2}+6{y}_{0}k+{{y}_{0}}^{2}-3=0$；
∴${k}_{1}+{k}_{2}=-{y}_{0}，{k}_{1}{k}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{6}$；
∴${y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}{y}_{4}=\frac{64[{k}_{1}{k}_{2}+（{k}_{1}+{k}_{2}）{y}_{0}+{{y}_{0}}^{2}]}{{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{64（{k}_{1}{k}_{2}-{{y}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}{{k}_{1}{k}_{2}}=64$；
∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64．

点评 考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点及准线方程，两点间距离公式，直线的点斜式方程，以及韦达定理，圆心到切线距离和圆半径的关系，点到直线的距离公式．