Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=1，且点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+1上；数列{b_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＜8S_n+$\frac{17}{2}$成立的最大数n的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n+1=a_n+1，运用等差数列的通项公式可得a_n=n；再由b₁=S₁=2；b_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项；
（2）求得a_n•b_n=2n•3^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得T_n，由题意化简可得2n-1＜16，解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由题意可得a_n+1=a_n+1，
可得a_n=a₁+n-1=1+n-1=n；
由数列{b_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，
可得b₁=S₁=2；
b_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2•3^n-1，
上式对n=1也成立．
则b_n=2•3^n-1；
（2）a_n•b_n=2n•3^n-1，
前n项和为T_n=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1），
即有3T_n=2（1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ），
相减可得，-2T_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）
=2（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ），
化简可得T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{2}$，
T_n＜8S_n+$\frac{17}{2}$即为$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{2}$＜8（3ⁿ-1）+$\frac{17}{2}$，
化简为2n-1＜16，解得n＜8.5，
则n的最大值为8．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用等比数列的求和公式，属于中档题．