Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，函数f（x）=px³-（p+q）x²+qx+q（其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函数y=2px²-qx+q-f′（x）的图象上．
（1）求a₁的值；　
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=px²-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=．又因为p＞q＞0，故有0＜．
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=的左侧为正、右侧为负，故当x=时，函数f（x）取得极大值．
由于当x=a₁时，函数f（x）取得极小值，故 a₁ =1．
（2）函数y=2px²-qx+q-f′（x）=px²+px，
点（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函数y=2px²-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2S_n =pn²+pn ①，故 2s_n-1=p（n-1）²+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2a_n=2pn，∴a_n=pn．
再由a₁ =1可得 p=1，故a_n=n．
综上可得，数列{a_n}的通项公式为 a_n=n．
分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令其导数为0求得x，进而根据x变化时f'（x）和f（x）的变化情况确定函数f（x）的极小值．求得a₁．
（2）点（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函数y=2px²-qx+q-f′（x）的图象上，可得 2S_n =pn²+pn ①，换元可得 2s_n-1=p（n-1）²+p（n-1）②，把①②相减可得 2a_n=2pn，再由 a₁ =1求得数列{a_n}的通项公式．
点评：本题主要考查了数列与函数的综合，涉及了函数的导数求极值，数列递推式求通项公式等．考查了考试综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．