Question

已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集上的奇函数．
（1）求证：；
（2）讨论关于的方程：的根的个数；
（3）设，证明：（为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）证明详见解析.（2）；；.（3）证明详见解析.

解析试题分析：（1）构造函数则，求出>0时x的取值，即函数h（x）的单调增区间，时x的取值，即函数h（x）的单调减区间，可得即即可.（2）由是 上的奇函数可得，构造函数求，根据导数的性质求出函数的单调区间，函数的最大值为，然后再根据直线y=m与函数的交点个数判断原方程根的个数情况.（3）由（1）知,令，
试题解析：（1）证:令,令时
时,.  ∴
∴ 即.   4分
（2）为R上的奇函数，
令
   8分

。
（3）由（1）知,令，则，所以原式=++···++1，然后用缩放法证明即可.
于是，
∴=++···++1
++···++1=    .12分
考点：1.求函数的导数；2.导数的性质和函数的零根；3.不等式的证明.