Question

已知函数f（x）=x²ln|x|，
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}
f（-x）=（-x）²ln|-x|=x²lnx=f（x）
∴f（x）为偶函数
（Ⅱ）当x＞0时，
若，则f'（x）＜0，f（x）递减；
若，则f'（x）＞0，f（x）递增．
递增区间是和；
递减区间是和．
（Ⅲ）要使方程f（x）=kx-1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有交点．
函数f（x）的图象如图．
先求当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值．
当k＞0时，f'（x）=x•（2lnx+1）
设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y-f（a）=f'（a）（x-a），
将x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a²lna+a²-1=0（*）
显然，a=1满足（*）
而当0＜a＜1时，a²lna+a²-1＜0，
当a＞1时，a²lna+a²-1＞0
∴（*）有唯一解a=1
此时k=f'（1）=1
再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f（x）的图象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，求得f（-x），看f（x）与f（x）的关系式，进而判断函数的奇偶性．
（Ⅱ）先看当x＞0时，根据导函数f'（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间．
（Ⅲ）要使方程f（x）=kx-1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质．