Question

13．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，⊙C的半径是1，MN是⊙C直径，求：$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$的最大值及此时$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{AB}$的关系．

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．则A$（-\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，B$（\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$．设M（cosθ，sinθ），N（-cosθ，-sinθ）（θ∈[0，2π））．可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=-$2\sqrt{2}$cosθ-1≤2$\sqrt{2}$-1，当且仅当θ=π时取等号．即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
则A$（-\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，B$（\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$．
设M（cosθ，sinθ），N（-cosθ，-sinθ）（θ∈[0，2π））．
$\overrightarrow{AM}$=（cosθ+$\sqrt{2}$，sinθ$+\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BN}$=（-cosθ-$\sqrt{2}$，-sinθ+$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=-2$\sqrt{2}$cosθ-1≤2$\sqrt{2}$-1，
当且仅当θ=π时取等号．
此时$\overrightarrow{AB}$=$（2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{MN}$=（2，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{MN}$，共线．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．