Question

设f（x）=x³+bx²+c，已知方程f（x）=0有三个实根α，2，β，且α＜2＜β
（1）求证：α，β为方程x²+（b+2）x+2b+4=0的两根；
（2）求丨α-β丨的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=（x-2）（x-α）（x-β）=x³-（α+β+2）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ=x³+bx²+c，由对应项系数相等可得α，β得和、积，于是得到结论；
（2）只需利用韦达定理求丨α-β丨的和得范围，注意b得范围；

解答： （1）证明：∵f（x）=x³+bx²+c，且f（x）=0有三个实根α，2，β，
∴f（x）=（x-2）（x-α）（x-β）=x³-（α+β+2）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ=x³+bx²+c，
∴

-(α+β+2)=b 2α+2β+αβ=0 -2αβ=c

，得

α+β=-b-2 αβ=2b+4

，
∴α，β是方程x²+（b+2）x+2b+4=0的两根；
（2）解：由（1）得

α+β=-b-2 αβ=2b+4

，
∴（α-β）²=（α+β）²-4αβ=（-b-2）²-4（2b+4）=b²-4b-12=（b-2）²-16，
由α＜2＜β，得2²+2（b+2）+2b+4＜0，∴b＜-3．
∴（α-β）²＞（-3-2）²-16=9，
∴丨α-β丨＞3．

点评：该题考查方程得根与系数得关系、二次函数得性质等知识，考查学生的运算求解能力．