Question

已知正项数列{a_n}是等差数列，平面向量

OA

，

OB

，

OC

的终点在同一直线上，且

OA

=a₁

OB

+a₂₀

OC

，则

1

a10

+

2

a11

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,平面向量的基本定理及其意义

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：由于平面向量

OA

，

OB

，

OC

的终点在同一直线上，且

OA

=a₁

OB

+a₂₀

OC

，利用向量共线定理可得
a₁+a₂₀=1．由于正项数列{a_n}是等差数列，可得a₁₀+a₁₁=a₁+a₂₀．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵平面向量

OA

，

OB

，

OC

的终点在同一直线上，且

OA

=a₁

OB

+a₂₀

OC

，
∴a₁+a₂₀=1．
∵正项数列{a_n}是等差数列，
∴a₁₀+a₁₁=a₁+a₂₀=1．
∴

1

a10

+

2

a11

=（a₁₀+a₁₁）(

1

a10

+

2

a11

)=3+

a11

a10

+

2a10

a11

≥3+2

a11 a10 × 2a10 a11

=3+2

2

，
当且仅当a11=

2

a10=2-

2

．
∴

1

a10

+

2

a11

的最小值是3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查了向量共线定理、等差数列的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．