已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求a的值;
(2)在满足(1)的条件下,探究函数f(x)零点的个数;如果有零点,请指出每个零点处于哪两个连续整数之间,并说明理由;
(3)讨论函数f(x)的单调区间.
分析:(1)先求函数f(x)的导函数,再根据函数f(x)在x=-1处取得极值得到f'(-1)=0,解方程即可;
(2)先求出f′(x)=0的值,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,发现极值都大于零,从而函数f(x)有零点且只有一个,又函数f(x)在[-2,-1]上连续,且f(-1)=1>0,f(-2)=-1<0,所以函数f(x)的零点介于-2和-1之间.
(3)讨论a的值,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出单调区间即可.
解答:解:(1)f'(x)=3x
2+2ax+1
因为函数f(x)在x=-1处取得极值所以f'(-1)=0
解得a=2
(2)由(1)知f(x)=x
3+2x
2+x+1f'(x)=3x
2+4x+1
令f'(x)=3x
2+4x+1=0解得
x=-1,x=-从上表可以看出
f(x)极小值=>0 ,?f(x)极大值=1>0,
所以函数f(x)有零点且只有一个
又函数f(x)在[-2,-1]上连续,且f(-1)=1>0,f(-2)=-1<0,所以函数f(x)的零点介于-2和-1之间.
(3)f'(x)=3x
2+2ax+1△=4a
2-12=4(a
2-3)
当a
2≤3,即
-<a<时,△≤0,f'(x)≥0,所以函数f(x)在R上是增函数
当a
2>3,即
a>或a<-时,△>0,解f'(x)=0得两根为
x1=,
x2=(显然x
1<x
2)
当x∈(-∞,x
1)时f'(x)>0;x∈(x
1,x
2)时f'(x)<0;x∈(x
2,+∞)时f'(x)>0
所以函数f(x)在
(-∞,),
(,+∞)上是增函数;
在
(,)上是减函数
综上:当
-<a<时,函数f(x)在R上是增函数;
当
a>或a<-时,函数f(x)在
(-∞,),
(,+∞)上是增函数;在
(,)上是减函数
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件,属于基础题.