Question

小辉是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值为20万元的收藏品M，由于受到收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初M的价值为上年初的

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2

；从第4年开始，每年初M的价值比上年初增加4万元．
（Ⅰ）求第几年初开始M的价值超过原购买的价值；
（Ⅱ）记T_n（n∈N^*）表示收藏品M前n年的价值的平均值，求T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据题意，写成通项公式，计算即可；
（Ⅱ）分1≤n≤3及n≥4两种情况分析即可．

解答： 解：（Ⅰ）设第n年初M的价值为a_n，
依题意，当1≤n≤3时，数列{a_n}是首项为20，公比为

1

2

的等比数列，
所以an=20×(

1

2

)n-1=5×23-n．故a₂=10，a₃=5，所以a₃＜a₂＜a₁．
当n≥4时，数列{a_n}是以a₄为首项，公差为4的等差数列，
又a₄=a₃+4=9，所以a_n=9+（n-4）×4=4n-7．
令a_n＞20，得n＞

27

4

，又因为n∈N^*，所以n≥7．
因此，第7年初M开始的价值a_n超过原购买的价值．
（Ⅱ）设S_n表示前n年初M的价值的和，则Tn=

Sn

n

由（Ⅰ）知，当1≤n≤3时，Sn=

20•(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=40-5×23-n，
Tn=

40-5×23-n

n

①；
当n≥4时，由于S₃=35，故Sn=S3+(a4+a5+…+an)=35+

(n-3)(9+4n-7)

2

=2n2-5n+32，
Tn=

2n2-5n+32

n

=2n+

32

n

-5．②
当1≤n≤3时，由①得，T₁=20，T₂=15，T3=

35

3

，所以T₁＞T₂＞T₃
当n≥4时，由②知，Tn=2n+

32

n

-5 ≥ 2

2n• 32 n

-5=11，
当且仅当2n=

32

n

，即n=4时等号成立．即（T_n）_min=T₄=11．
由于T₃＞T₄，故在第4年初T_n的值最小，其最小值为11．

点评：本小题主要考查数列、等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．