Question

已知Z=

2

x2

+

2y

x

+7，若x²+y²=2，求Z的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：由x²+y²=2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，θ∈[0，2π），且θ≠

π

2

，

3π

2

．则Z=

1

cos2θ

+

2sinθ

cosθ

+7=f（θ），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：由x²+y²=2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，θ∈[0，2π），且θ≠

π

2

，

3π

2

．
则Z=

1

cos2θ

+

2sinθ

cosθ

+7=f（θ），
f′（θ）=

2sinθ

cos3θ

+

2

cos2θ

=

2sin(θ+ π 4 )

cos3θ

，
令f′（θ）=0，解得θ=

3π

4

或

7π

4

．
当0≤θ＜

3π

4

时，sin(θ+

π

4

)＞0，此时函数f（θ）单调递增；当

3π

4

＜θ＜

7π

4

时，sin(θ+

π

4

)＜0，此时函数f（θ）单调递减；当

7π

4

＜θ＜2π时，sin(θ+

π

4

)＞0，此时函数f（θ）单调递增．
而f（0）=8，f（

7π

4

）=9-

2

．
∴Z的最小值为：9-

2

．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、三角函数代换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．