Question

若{an}为等比数列，公比为q，则数列{

1

an

}，{a_n²}，{

an

}（a_n＞0），{lga_n}（a_n＞0），{2 an}，哪些是等比数列？如果是，公比是多少？

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{a_n}是等比数列，得其通项公式，再分别得到数列{

1

an

}，{a_n²}，{

an

}（a_n＞0），{lga_n}（a_n＞0），{2 an}的通项公式，然后利用等比数列的定义加以判断．

解答： 解：若数列{a_n}是等比数列，且首项为a₁，公比为q，
则

1

an

=

1

a1

•(

1

q

)n-1，这是一个以

1

a1

为首项，以

1

q

为公比的等比数列；
a_n=a₁•q^n-1，则an2=a₁²•q^2（n-1），这是一个以a₁²为首项，以q²为公比的等比数列；
由a_n＞0，得

an+1

an

=

an+1 an

=

a1•qn a1•qn-1

=

q

，
∴{

an

}（a_n＞0）是以

a1

为首项，以

q

为公比的等比数列；
由a_n＞0，得

lgan+1

lgan

=

lg(a1•qn)

lg(a1•qn-1)

=

lga1+nlgq

lga1+(n-1)lgq

不是常数，
∴数列{lga_n}（a_n＞0）不是等比数列；
由

2an+1

2an

=2an+1-an=2a1qn-1(q-1)不是常数，
∴数列{2 an}不是等比数列．

点评：本题考查了等比数列的定义，考查了等比数列的通项公式，考查了有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是中档题．