Question

16．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）△ABC中，锐角A满足f（A）=1，b=$\sqrt{2}$，c=3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出揭露．
（2）由f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）=1，求得sin（2A-$\frac{π}{4}$）的值，可得A的值，再利用余弦定理求得a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2sinxcosx-2{cos^2}x+1=sin2x-cos2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，∴f（x）的最小正周期为π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
（2）△ABC中，锐角A满足f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）=1，∴sin（2A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵A是锐角，∴$2A-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，∴$A=\frac{π}{4}$．
∵b=$\sqrt{2}$，c=3，由余弦定理得${a^2}=2+9-2×\sqrt{2}×3cos\frac{π}{4}=5$，∴$a=\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，余弦定理的应用，属于基础题．