Question

15£®ÒÑ֪˫ÇúÏß$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1£¨a£¾0£¬b£¾0£©µÄ×ó¡¢ÓÒ½¹µã·Ö±ðΪF₁£¬F₂£¬PΪ˫ÇúÏßÉÏÈÎÒ»µã£®ÇÒ$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$µÄ×îСֵµÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ[-$\frac{3}{4}$c²£¬-$\frac{1}{2}$c²]£¬Ôò¸ÃË«ÇúÏßµÄÀëÐÄÂʵÄÈ¡Öµ·¶Î§Îª$\sqrt{2}$¡Üe¡Ü2£®

Answer 1

·ÖÎö ÓÉÌâÒ⣬$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$µÄ×îСֵµÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ[-$\frac{3}{4}$c²£¬-$\frac{1}{2}$c²]£¬¿ÉµÃ-$\frac{3}{4}$c²¡Ü-£¨c-a£©£¨c+a£©¡Ü-$\frac{1}{2}$c²£¬Óɴ˼´¿ÉÇó³öË«ÇúÏßµÄÀëÐÄÂʵÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

½â´ð ½â£ºÓÉÌâÒ⣬$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$µÄ×îСֵµÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ[-$\frac{3}{4}$c²£¬-$\frac{1}{2}$c²]£¬
¡à-$\frac{3}{4}$c²¡Ü-£¨c-a£©£¨c+a£©¡Ü-$\frac{1}{2}$c²£¬
¡à$\frac{1}{4}$c²¡Üa²¡Ü$\frac{1}{2}$c²£¬
¡à$\sqrt{2}$¡Üe¡Ü2£¬
¹Ê´ð°¸Îª£º$\sqrt{2}$¡Üe¡Ü2£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éË«ÇúÏßµÄÀëÐÄÂʵÄÈ¡Öµ·¶Î§£¬¿¼²éѧÉúµÄ¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮