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已知简单多面体的顶点数、面数、棱数分别为V、F、E,多面体的各面为正x边形,过同一顶点的面数为y.求证:+=

 

见解析

【解析】

试题分析:在正x边形中有x条棱,因而在F个面中有Fx条棱.每条棱在相邻两面中各算一次,可得Fx=2E,同理Vy=2E,结合V+F﹣E=2,即可得出结论.

证明:在正x边形中有x条棱,因而在F个面中有Fx条棱.

∵每条棱在相邻两面中各算一次,∴Fx=2E.

同理,各顶点都有y条棱,Vy为多面体总棱数的两倍,∴Vy=2E.

∴F=,V=

代入V+F﹣E=2中得+﹣E=2.

+=

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