Question

【题目】在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=3，AA1=3 ，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1 ． （Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A1﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：由题意tan∠ABD= = ，tan∠AB1B= = ， ∵0＜∠ABD＜ ，0＜∠AB1B＜ ，∴∠ABD=∠AB1B，
∴∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，则AB1⊥BD．
又CO⊥侧面ABB1A1 ， AB1⊥CO．
又BD与CO交于点O，AB1⊥平面CBD，
又BC平面CBD，BC⊥AB1；
（Ⅱ）解：如图，以O为原点，分别以OD，OB1 ， OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则 ，B（ ，0，0），C（0，0， ），B1（ ），
∴ ， ， ．
设平面ABC的法向量为 =（x，y，z），
则 ，令x=1，可得 =（1， ，﹣ ）是平面ABC的一个法向量．
设平面A1AC的法向量为 =（x，y，z），
则 ，令x=2，可得 =（2，﹣ ， ）是平面A1AC的一法向量．
设二面角A1﹣AC﹣B的平面角为α，则cosα=|cos＜ ＞|=| |= = ．
二面角A1﹣AC﹣B的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由题意求得∠ABD=∠AB1B，且∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，则AB1⊥BD．再由CO⊥侧面ABB1A1 ， 得AB1⊥CO．结合线面垂直的判定可得AB1⊥平面CBD，进一步得到BC⊥AB1； （Ⅱ）以O为原点，分别以OD，OB1 ， OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出相应点的坐标，再求得平面ABC及平面A1AC的法向量，由两个法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣AC﹣B的平面角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．