Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$
（1）求∠B．
（2）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理、商的关系化简$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$，求出tanB的值，由内角的范围求出角B的值；
（2）设AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．

解答 解：（1）由题意得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$，
则根据正弦定理得，$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{\sqrt{3}cosB}$，所以tanB=$\sqrt{3}$，
又0＜B＜π，则B=$\frac{π}{3}$；
（2）设AB=c、BC=a，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
在△ABM中同理可得${AM}^{2}=（\frac{a}{2}）^{2}+{c}^{2}-2•\frac{a}{2}ccosB$=$\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，
因为AM=AC，所以a²+c²-ac=$\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，
化简得3a=2c，代入AC²=a²+c²-2accosB得，
${AC}^{2}={a}^{2}+{（\frac{3a}{2}）}^{2}-a•\frac{3a}{2}$=$\frac{7}{4}{a}^{2}$，则AC=$\frac{\sqrt{7}}{2}a$，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，
则sin∠BAC=$\frac{BCsinB}{AC}$=$\frac{a×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理应用，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．