Question

13．在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，已知3cos2C-10cos（A+B）-1=0，若c=1，cosA+cosB=$\frac{10}{9}$，求边a．

Answer 1

分析 运用三角形的内角和定理和二倍角公式，求得cosC，sinC，再由B=π-A-C，结合同角的平方关系，求得sinA，再由正弦定理，可得a．

解答 解：由A+B+C=π，可得
3cos2C+10cosC-1=0，
即为3（2cos²C-1）+10cosC-1=0，
3cos²C+5cosC-2=0，
解得cosC=$\frac{1}{3}$（-2舍去），
则sinC=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由cosA+cosB=$\frac{10}{9}$，
可得cosA-cos（A+C）=$\frac{10}{9}$，
即有cosA-（$\frac{1}{3}$cosA-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinA）=$\frac{10}{9}$，
cosA+$\sqrt{2}$sinA=$\frac{5}{3}$，
由cos²A+sin²A=1，
解得cosA=$\frac{7}{9}$，sinA=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
由正弦定理，可得
a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，同时考查同角的平方关系和二倍角公式的运用，属于中档题．