Question

4．已知$\overrightarrow{OA}$=（2，1），$\overrightarrow{OB}$=（1，7），$\overrightarrow{OC}$=（5，1），若$\overrightarrow{OD}$=x•$\overrightarrow{OA}$，y=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$（x、y∈R）．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的图象按向量$\overrightarrow{a}$=（-2，8）平移后得到的图象y=g（x）的解析式；
（3）过原点O作OM、ON分别交于y=g（x）的图象于M、N两点，直线MN交y轴于点Q（0，y₀），当∠MON为锐角时，求y₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的坐标公式即可求y=f（x）的解析式；
（2）根据向量平移关系即可求出y=g（x）的解析式；
（3）设M（m，5m²），N（n，5n²），根据∠MON为锐角时，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OD}$=x•$\overrightarrow{OA}$=（2x，x），∴D（2x，x），
∵$\overrightarrow{OB}$=（1，7），$\overrightarrow{OC}$=（5，1），
∴B=（1，7），C（5，1），
∴$\overrightarrow{DB}$=（1-2x，7-x），$\overrightarrow{DC}$=（5-2x，1-x），
则y=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=（1-2x，7-x）•（5-2x，1-x）=5x²-20x+12，
即y=f（x）=5x²-20x+12；
（2）∵y=f（x）=5x²-20x+12=5（x-2）²-8，
∴y=f（x）的图象按向量$\overrightarrow{a}$=（-2，8）平移后得到的图象y=g（x）=5x²；
（3）设M（m，5m²），N（n，5n²），
则直线MN的方程为$\frac{y-5{n}^{2}}{5{m}^{2}-5{n}^{2}}=\frac{x-n}{m-n}$，
令x=0，则y₀=-5mn，
若∠MON为锐角，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=mn+25m²n²＞0，
∴mn$＜-\frac{1}{25}$或mn＞0
即y₀＜0或y₀＞$\frac{1}{5}$，
故y₀的取值范围是（-∞，0）∪（$\frac{1}{5}$，+∞）．

点评 本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．