Question

15．已知g（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，h（x）=b₀+b₁x+b₂x²+…+b₉x⁹，若（1+x）（1-2x）¹⁹ =
（1-x）¹⁰g（x）+h（x），则a₉=（　　）

• A． 0
• B． 10×2¹⁹
• C． -10×2¹⁸
• D． -3×2¹⁸

Answer 1

分析 根据等式（1+x）（1-2x）¹⁹ =（1-x）¹⁰g（x）+h（x）的两边展开式中的x¹⁹的系数相等、x²⁰的系数相等求得a₉的值．

解答 解：由（1+x）（1-2x）¹⁹ =（1-x）¹⁰g（x）+h（x）=（1-x）¹⁰•（a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰）+b₀+b₁x+b₂x²+…+b₉x⁹ ，
可得x¹⁹的系数相等可得 ${C}_{19}^{19}$•（-2）¹⁹+${C}_{19}^{18}$•（-2）¹⁸=${C}_{10}^{10}$•a₉-${C}_{10}^{9}$•a₁₀ ①，
再根据x²⁰的系数相等可得 ${C}_{19}^{19}$•（-2）¹⁹=${C}_{10}^{10}$a₁₀ ②．
由①②求得 a₉=-3×2¹⁸，
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的运用；关键是通过系数的关系找到与所求有关的等式，属于中档题．