Question

7．已知P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$上的一个动点，F₁，F₂分别是左右焦点，则cos∠F₁PF₂的最小值为$-\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F₁PF₂取得最大值，此时cos∠F₁PF₂可取得最小值．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，∴a=3，b=2，c=$\sqrt{5}$．
当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F₁PF₂取得最大值，
∴sin（$\frac{1}{2}$∠F₁PF₂）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴os∠F₁PF₂的最小值=1-2sin²（$\frac{1}{2}$∠F₁PF₂）=$-\frac{1}{9}$．
故答案为：$-\frac{1}{9}$．

点评 正确理解当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F₁PF₂取得最大值，此时cos∠F₁PF₂可取得最小值是解题的关键．