Question

18．定义：若两椭圆C₁：$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}=1，{C_2}：\frac{x^2}{{{a_2}^2}}+\frac{y^2}{{{b_2}^2}}$=1满足$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}$=λ，则称椭圆C₁与椭圆C₂相似，相似比为λ，现有一系列相似椭圆C_n：$\frac{x^2}{{{a_n}^2}}+\frac{y^2}{{{b_n}^2}}$=1，满足a₁=$\sqrt{2}$，b₁=1，相似比λ=2，直线l：y=x与这一系列相似椭圆在第一象限内的交点分别为A₁，A₂，…，A_n，设α_n=|A_nA_n+1|．
（1）求α₁；
（2）求证：{a_n}为等比数列，并求出其通项公式；
（3）令${β_n}={log_2}（\sqrt{3}{α_n}）$，求证$\frac{β_1}{β_2}+\frac{{{β_1}•{β_3}}}{{{β_2}•{β_4}}}+…+\frac{{{β_1}•{β_3}•{β_5}…{β_{2n-1}}}}{{{β_2}•{β_4}•{β_6}…{β_{2n}}}}＜\sqrt{2{β_n}+1}$-1．

Answer 1

分析 （1）将直线l：y=x与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$和椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$联立可得：x₁，x₂，代入α₁=|A₁A₂|可得答案；
（2）将直线l：y=x与椭圆C_n：$\frac{{x}^{2}}{{2}^{2n-1}}+\frac{{y}^{2}}{{2}^{2n-2}}=1$联立得：x_n，代入α_n=|A_nA_n+1|可得结论；
（3）${β_n}={log_2}（\sqrt{3}{α_n}）$=$lo{g}_{2}（\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}•{2}^{n}}{3}）$=n，利用放缩法可得：$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+…+$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{2×4×6×…×2n}$＜$\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$＜$\sqrt{2n+1}-1$，即$\frac{β_1}{β_2}+\frac{{{β_1}•{β_3}}}{{{β_2}•{β_4}}}+…+\frac{{{β_1}•{β_3}•{β_5}…{β_{2n-1}}}}{{{β_2}•{β_4}•{β_6}…{β_{2n}}}}＜\sqrt{2{β_n}+1}$-1．

解答 解：（1）将直线l：y=x与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$联立得：x₁=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
将直线l：y=x与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$联立得：x₂=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
故α₁=|A₁A₂|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
证明：（2）将直线l：y=x与椭圆C_n：$\frac{{x}^{2}}{{2}^{2n-1}}+\frac{{y}^{2}}{{2}^{2n-2}}=1$联立得：x_n=2^n-1$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
则x_n+1=2ⁿ$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
故α_n=|A_nA_n+1|=$\sqrt{2}$|x_n-x_n+1|=$\sqrt{2}$×2^n-1$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}•{2}^{n}}{3}$，
即：{α_n}为以$\frac{2\sqrt{3}}{3}$为首项，以2为公比的等比数列；
（3）${β_n}={log_2}（\sqrt{3}{α_n}）$=$lo{g}_{2}（\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}•{2}^{n}}{3}）$=n，
∵$[\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{2×4×6×…×2n}]^{2}$=$\frac{1×3}{{2}^{2}}•\frac{3×5}{{4}^{2}}•$…•$\frac{（2n-1）×（2n+1）}{{（2n）}^{2}}$•$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2n+1}$，
故$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{2×4×6×…×2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，
又由$\sqrt{2n+1}$＞$\frac{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}{2}$，
故$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$＜$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+…+$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{2×4×6×…×2n}$＜$\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$＜$\sqrt{2n+1}-1$，
即$\frac{β_1}{β_2}+\frac{{{β_1}•{β_3}}}{{{β_2}•{β_4}}}+…+\frac{{{β_1}•{β_3}•{β_5}…{β_{2n-1}}}}{{{β_2}•{β_4}•{β_6}…{β_{2n}}}}＜\sqrt{2{β_n}+1}$-1．

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，等比数列，对数的运算性质，放缩法证明不等关系，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．